假设你现在有100块钱，每次拿这1块钱出来跟我进行抛硬币游戏，若硬币为正面，则你赢得2块钱，若硬币为反面，则你押的这1块钱就被我拿走了。好，那么现在我问你：你每次应该投入本金多少百分比的钱，才能取得收益的最大化呢？
关于这个问题，有没有一个明确的答案呢？有的：25%。而得出这个结论的依据则是：凯利公式。
一、凯利公式的由来
1.关于赌博的两个主流策略
在赌场里，有两个赌博策略一直被专业玩家所研究和推敲，且广泛传播，即“等价靶策略”和“反等价靶策略”。
等价靶策略：一旦输了，那么就一直下注，并将赌注翻倍，直至赢钱，赢了之后，则将赌注降回初始值。即100块本金，一开始赌注是1块钱，但一旦输了，便押2块钱，又输，押4块钱，直至最后浮盈。
反等价靶策略：总是按现有资金总额的一定比例下注。即100块本金，第一次下注2%，输了1块钱，那么第二次下注就押99块钱的2%，以此类推。
等价靶策略有一个致命弱点，是赌博者会在连输赌输后再没本金维持连续翻倍押注的游戏，因为赌注本身会随着失败次数呈2次方增长。而反等价靶策略，很有意思，它汲取了“日取其半，万世不竭”的真谛，让你得以能够持续的把游戏玩下去；哪怕成为百万富翁的概率如此小，但只要本金没亏光，那总是有机会的嘛，而一旦触及“止盈”条件，则马上收手，那么就能够终止游戏了。
应用反等价靶策略最著名的一个公式，正是“凯利公式”。
2.凯利公式的概述
公式： F =（bp-q）/ b
其中，各参数意义为：
F = 应投注的资本比值
p = 获胜的概率（即抛硬币正面的概率）
q = 失败的概率，即1 - p（即硬币反面的概率）
b = 赔率，等于期望盈利 ÷可能亏损（即盈亏比）
以上公式的分子（bp-q）代表正是“赢面”，在数学中也叫“期望值”。
那么，回到文章一开始，25%的适当概率是怎么得出来的呢？我们不妨利用凯利公式来进行求解：
因为硬币抛出正反面的概率都是50%，故失败的概率均为0.5，即p、q的值都为0.5，而赔率＝期望盈利÷可能亏损=2元盈利÷1元亏损，算出来，赔率就是2，我们要求的答案是F，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
二、凯利公式在投资活动中的应用
1.股票投资与赌博有所不同
凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌场的二十一点游戏，然而，二十一点并非金融交易。你在赌二十一点时，你可能会输的只限于所放进去的筹码，而可能会赢的利润，也只限于赌注筹码的范围。但金融交易没有明确的输赢程度，它是随着市场波动而波动的，所以，在股市里套用凯利公式的时候，需要作一些变化，把胜负率改成替换的指标。
对于公式 F =（bp-q）/ b：
F相当于仓位比例
p相当于某投资策略在过去的胜率
q相当于1-p，是败率
b相当于净赔率，即盈亏比
所以，若已知某股票投资策略过去5年间的胜率是60%，盈亏比是2，套入公式可算得F=0.4，也就是说，对于这个投资策略，保持40%的仓位，是最合适的。
2.应用凯利公式需注意的问题
一方面，随着仓位的提高，收益率存在最大值，但波动率却逐渐增加。我们在上面预估的胜率、盈亏比都是基于历史数据的。而现实中，小概率事件的概率往往会被低估。因此对于实际的仓位配置应偏保守为宜，这样即使评估出现偏差，往往是期望收益率的下降；而如果仓位比较激进，出现偏差会导致结果的很大不确定性，甚至出现期货收益率为负的情况。
另一方面，在股票市场中，凯利公式的影响力，会随着交易次数的上升而愈加显著；在选取比较合适的仓位投资后，投资的次数越多，获得的收益越多。
然而，你知道吗？我们固然懂得F值的计算方法，但却未必有足够的经验、能力以及信息去保证p值和b值是可靠的，在这种情况下，公式本身就失去了它的意义。所以，有的人说凯利公式更适合用来把控仓位，控制风险，而不是主动投资，我个人是比较赞同这个观点的。
三、凯利公式的启示
凯利公式告诉我们一个最朴素的道理：你永远也赢不了凯利公式。所有的赌场游戏，本质上都是针对赌徒的不公平游戏。
然而我们说这场游戏不公平，并非由于赌场不守规矩，出老千，欺骗你，事实上，赌场可说是最透明的博弈场所了，你押对了就赢钱，押错了就赔钱，没有太多的内幕消息等嘈杂信息。
凯利公式也并非凭空想出来的，上面这个数学模型已经在华尔街得到验证，甚至在赌场里被奉为正神，在投资界被誉为“资金管理器”，根据F= (bp-q) / b公式可推导得出结论，期望值(bp-q)为负时，作为赌徒是不具备任何优势的，不应该在此时下任何赌注，除非你自己坐庄，收赌客的钱。
当然，并非没有例外，这世界上还是有真正的赌神的，比如，信息论的发明者香农、数学家爱德华·索普、路径理论的创始人蒙特卡罗等，他们通过一系列复杂的计算和艰深的数学理论，能把某些赌戏的赢率提高到50％以上。但作为我们普通人来讲，还是要谨记以下3点关于凯利公式的推导结论：
1、期望值（bp-q）为0时，赌局为公平游戏，这时不应下任何赌注。
2、期望值（bp-q）为负时，赌徒不具备任何优势，也不应下任何赌注。
3、期望值（bp-q）为正时，这时按照凯利公式投注赚钱最快，风险最小
最终结论：除了100%的概率赢，任何时候都不应押下全部赌注，即使赢的概率是99%。
